初二数学上册全册知识点总结三角形+全等三角形+轴对称+一次函数一篇搞定-维爱宝学习网

初二数学上册是初中数学的难点期，三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解、分式、一次函数，每一块都是中考的重点。很多同学觉得几何证明难、函数抽象。本文把上册核心知识点全部整理在一起，一篇文章复习完一学期数学内容。

注：本文以人教版八年级上册为蓝本，部分版本包含一次函数内容。

第十一章三角形

1. 三角形的有关概念

三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形；
三角形的边：组成三角形的三条线段；
三角形的顶点：相邻两边的公共端点；
三角形的内角：相邻两边组成的角；
三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。

2. 三角形的分类

按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）；
按边分类：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。

3. 三角形的三边关系

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
判断三条线段能否组成三角形：只需判断较短两边之和是否大于最长边。

4. 三角形的高、中线、角平分线

高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段；
中线：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段；
角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段；
三角形的三条高所在直线交于一点（垂心），三条中线交于一点（重心），三条角平分线交于一点（内心）。

5. 三角形的稳定性

三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；
应用：自行车车架、起重机的三角形结构。

6. 三角形的内角和

三角形三个内角的和等于180°；
直角三角形的两个锐角互余（和为90°）；
有两个角互余的三角形是直角三角形。

7. 三角形的外角

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；
三角形的外角和等于360°。

8. 多边形及其内角和

多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形；
n边形的内角和等于(n-2)×180°；
多边形的外角和等于360°（与边数无关）；
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形；
正n边形每个内角的度数=(n-2)×180°/n，每个外角的度数=360°/n；
从n边形的一个顶点出发，可以引(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形；n边形共有n(n-3)/2条对角线。

第十二章全等三角形

1. 全等形与全等三角形

全等形：能够完全重合的两个图形；
全等三角形：能够完全重合的两个三角形；
对应顶点：重合的顶点；对应边：重合的边；对应角：重合的角；
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。

2. 全等三角形的判定

SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等；
SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；
ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；
AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形）；
注意：SSA（两边及其中一边的对角）和AAA（三角对应相等）不能判定三角形全等。

3. 角平分线的性质

性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上；
三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等。

4. 全等三角形证明思路

找夹角→SAS；找另一边→SSS；
已知一边一角：
- 边为角的对边→找任意一角→AAS；
- 边为角的邻边→找夹角的另一边→SAS，找夹边的另一角→ASA，找边的对角→AAS；
已知两角→找夹边→ASA，找任意一边→AAS。

第十三章轴对称

1. 轴对称图形与轴对称

轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴；
轴对称图形是一个图形自身的对称，轴对称是两个图形之间的对称关系。

2. 轴对称的性质

关于某条直线对称的两个图形是全等形；
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3. 线段的垂直平分线

定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

4. 用坐标表示轴对称

点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)；
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)；
点(x,y)关于原点对称的点的坐标是(-x,-y)；
点(x,y)关于直线x=m对称的点的坐标是(2m-x,y)；
点(x,y)关于直线y=n对称的点的坐标是(x,2n-y)。

5. 等腰三角形

定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角；
性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）；
判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。

6. 等边三角形

定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；
性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形；
判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形；
判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

7. 含30°角的直角三角形

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
反过来，在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

8. 最短路径问题

两点之间线段最短；
将军饮马问题：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点，此时路径最短。

第十四章整式的乘法与因式分解

1. 同底数幂的乘法

法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
公式：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ（m，n都是正整数）。

2. 幂的乘方

法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；
公式：(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ（m，n都是正整数）。

3. 积的乘方

法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
公式：(ab)ⁿ=aⁿbⁿ（n是正整数）。

4. 整式的乘法

单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式；
单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a+b+c)=ma+mb+mc；
多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。

5. 乘法公式

平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²；
完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²；
常用变形：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab；(a+b)²-(a-b)²=4ab。

6. 同底数幂的除法

法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；
公式：aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m，n都是正整数，且m>n）；
零指数幂：a⁰=1（a≠0）；
负整数指数幂：a⁻ⁿ=1/aⁿ（a≠0，n是正整数）。

7. 整式的除法

单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除，只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式；
多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

8. 因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式；
因式分解与整式乘法是互逆的变形。

9. 因式分解的方法

提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)；
- 公因式的确定：系数取最大公约数，字母取相同字母，指数取最低次幂；
公式法：
- 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；
- 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²；
十字相乘法：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)；
分组分解法：四项或四项以上的多项式，先分组，再分别分解，最后提取公因式。

10. 因式分解的一般步骤

一提：先提公因式；
二套：再考虑用公式法（两项考虑平方差，三项考虑完全平方或十字相乘）；
三查：检查因式分解是否彻底，每个因式是否还能继续分解。

第十五章分式

1. 分式的概念

一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，A叫做分子，B叫做分母；
分式有意义的条件：分母不为0；
分式无意义的条件：分母为0；
分式值为0的条件：分子为0且分母不为0。

2. 分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；
公式：A/B=(A·C)/(B·C)，A/B=(A÷C)/(B÷C)（C≠0）。

3. 分式的约分

约分：把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；
最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
约分的关键是找出分子与分母的公因式。

4. 分式的通分

通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；
最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积；
确定最简公分母的方法：系数取最小公倍数，字母取所有字母，指数取最高次幂。

5. 分式的乘除法

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即(a/b)·(c/d)=ac/bd；
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即(a/b)÷(c/d)=(a/b)·(d/c)=ad/bc；
分式的乘方：(a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ（n是正整数）。

6. 分式的加减法

同分母分式相加减：分母不变，分子相加减，即a/c±b/c=(a±b)/c；
异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减，即a/b±c/d=(ad±bc)/bd。

7. 分式的混合运算

运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的；
运算结果要化为最简分式或整式。

8. 分式方程

定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程；
解分式方程的步骤：
1. 去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
2. 解整式方程；
3. 检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原分式方程的解；若最简公分母为0，则是增根，原分式方程无解；
4. 写出答案。
增根：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根，增根不是原分式方程的解。