第五章 相交线与平行线
5.1 相交线
1. 邻补角
- 两条直线相交所成四个角中，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角
- 邻补角互补，即和为180°
2. 对顶角
- 有一个公共顶点，并且一个角两边分别是另一个角两边反向延长线，这样的两个角互为对顶角
- 对顶角相等
3. 垂线
- 两条直线相交所成四个角中，有一个角是90°时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫垂足
- 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
- 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短
- 点到直线距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离
4. 同位角、内错角、同旁内角
- 同位角：在截线同旁，被截两直线同一侧，形状像”F”
- 内错角：在截线两侧，被截两直线之间，形状像”Z”
- 同旁内角：在截线同旁，被截两直线之间，形状像”U”
5.2 平行线及其判定
1. 平行线
- 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b
- 同一平面内，两条直线位置关系：相交和平行两种
- 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
- 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即如果b∥a，c∥a，那么b∥c
2. 平行线判定
- 判定方法1：同位角相等，两直线平行
- 判定方法2：内错角相等，两直线平行
- 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行
- 补充：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行
5.3 平行线的性质
- 性质1：两直线平行，同位角相等
- 性质2：两直线平行，内错角相等
- 性质3：两直线平行，同旁内角互补
- 两条平行线距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段长度，叫做这两条平行线的距离
5.4 命题、定理、证明
- 命题：判断一件事情的语句，叫做命题
- 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出事项
- 真命题：题设成立，结论一定成立的命题
- 假命题：题设成立，结论不一定成立的命题
- 定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理，可以作为继续推理的依据
- 证明：一个命题正确性的推理过程叫做证明
5.5 平移
- 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新图形，新图形与原图形形状和大小完全相同
- 新图形中每一点，都是由原图形中某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点线段平行（或在同一直线上）且相等
第六章 实数
6.1 平方根
1. 算术平方根
- 如果一个正数x平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根
- a的算术平方根记为√a，读作”根号a”，a叫做被开方数
- 规定：0的算术平方根是0
2. 平方根
- 如果一个数平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果x²=a，那么x叫做a的平方根
- 求一个数a的平方根运算叫做开平方
- 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根
- 正数a平方根表示为±√a
6.2 立方根
- 如果一个数立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，即如果x³=a，那么x叫做a的立方根
- 求一个数的立方根运算叫做开立方
- 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0
- 一个数a立方根表示为∛a
6.3 实数
1. 无理数
- 无限不循环小数又叫做无理数
- 常见无理数：开方开不尽的数（如√2、∛5），含π的数（如π、π/2），有规律但不循环的无限小数
2. 实数分类
- 有理数和无理数统称实数
- 实数分类：
- 按定义分：有理数（整数、分数）、无理数
- 按正负分：正实数、0、负实数
3. 实数性质
- 实数与数轴上点是一一对应
- 数a相反数是-a
- 正实数绝对值是它本身，负实数绝对值是它相反数，0绝对值是0
- 实数a（a≠0）倒数是1/a
- 实数运算：有理数运算法则和运算性质在实数范围内仍然成立
第七章 平面直角坐标系
7.1 平面直角坐标系
1. 有序数对
- 有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a,b)
2. 平面直角坐标系
- 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系
- 水平数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向
- 竖直数轴称为y轴或纵轴，取向上为正方向
- 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点
3. 象限
- 建立了平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限
- 第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)
- 坐标轴上点不属于任何象限
4. 特殊点坐标特征
- x轴上点：纵坐标为0，即(x,0)
- y轴上点：横坐标为0，即(0,y)
- 原点：(0,0)
- 第一、三象限角平分线上点：横纵坐标相等，即(a,a)
- 第二、四象限角平分线上点：横纵坐标互为相反数，即(a,-a)
7.2 坐标方法简单应用
1. 用坐标表示地理位置
- 建立坐标系，选择一个适当参照点为原点，确定x轴、y轴正方向
- 根据具体问题确定单位长度
- 在平面内画出这些点，写出各点坐标和各个地点名称
2. 用坐标表示平移
- 在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a,y)（或(x-a,y)）
- 将点(x,y)向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y+b)（或(x,y-b)）
- 横坐标加右移，减左移；纵坐标加上移，减下移
第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
- 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数项次数都是1，像这样方程叫做二元一次方程
- 二元一次方程的解：使二元一次方程两边值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解
- 二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组
- 二元一次方程组的解：二元一次方程组两个方程公共解，叫做二元一次方程组的解
8.2 消元——解二元一次方程组
1. 代入消元法
- 把二元一次方程组中一个方程一个未知数用含另一个未知数式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法
- 步骤：
- 变：选一个系数较简单方程，将一个未知数用含另一个未知数式子表示
- 代：代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程
- 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值
- 回：将求得未知数的值代入变所得式子，求出另一个未知数的值
- 写：写出方程组解
2. 加减消元法
- 两个二元一次方程中同一未知数系数相反或相等时，把这两个方程两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法
- 步骤：
- 化：将方程组中某个未知数系数化为相同或互为相反数
- 加减：两方程相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程
- 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值
- 回代：将求得未知数的值代入原方程组中较简单方程，求出另一个未知数的值
- 写：写出方程组解
8.3 实际问题与二元一次方程组
- 列方程组解应用题步骤：
- 审：审题，找出等量关系
- 设：设未知数
- 列：根据等量关系列方程组
- 解：解方程组
- 答：检验并作答
- 常见题型：和差倍分问题、行程问题、工程问题、配套问题、利润问题
第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
1. 不等式
- 用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示大小关系的式子，叫做不等式
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解
- 不等式的解集：一个不等式所有解，组成这个不等式的解集
- 解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式
2. 不等式性质
- 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变，即如果a>b，那么a±c>b±c
- 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，即如果a>b，c>0，那么ac>bc
- 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，即如果a>b，c<0，那么ac
9.2 一元一次不等式
- 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数次数是1的不等式，叫做一元一次不等式
- 解一元一次不等式步骤：
- 去分母
- 去括号
- 移项
- 合并同类项
- 系数化为1（注意不等号方向是否改变）
9.3 一元一次不等式组
- 一元一次不等式组：把两个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组
- 不等式组解集：几个不等式解集公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集
- 解不等式组步骤：
- 求出每个不等式解集
- 在数轴上表示各解集，找出公共部分
- 写出不等式组解集
- 解集规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到
第十章 数据收集整理与描述
10.1 统计调查
- 全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查
- 抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象情况，这种调查方法叫做抽样调查
- 总体：要考察的全体对象称为总体
- 个体：组成总体每一个考察对象称为个体
- 样本：被抽取所有个体组成一个样本
- 样本容量：样本中个体数目称为样本容量
- 简单随机抽样：抽取样本过程中，总体中每一个个体都有相等机会被抽到，这样抽样方法叫做简单随机抽样
10.2 直方图
- 组距：把所有数据分成若干组，每个小组两个端点之间距离（组内数据取值范围）称为组距
- 组数：组个数称为组数
- 频数：落在不同小组中数据个数称为频数
- 频率：频数与数据总数比为频率
- 画直方图步骤：
- 计算最大值与最小值差
- 决定组距和组数
- 确定分点
- 列频数分布表
- 画频数分布直方图
初一数学下册学习建议
1. 相交线与平行线
- 这章是几何入门，要掌握好对顶角、邻补角、垂线、平行线判定和性质
- 学会几何推理，会写简单推理过程
- 注意判定和性质区别：判定是由角的关系推平行，性质是由平行推角的关系
2. 实数
- 平方根、算术平方根、立方根概念要分清
- 会求一个数平方根、算术平方根、立方根
- 无理数概念要理解，会判断一个数是有理数还是无理数
- 实数相反数、绝对值、运算要掌握
3. 平面直角坐标系
- 会根据坐标描点，根据点写坐标
- 各象限点坐标特征要记住
- 坐标平移规律要掌握
4. 二元一次方程组
- 代入消元法和加减消元法要熟练掌握
- 根据方程组特点选择合适解法
- 列方程组解应用题要会找等量关系
5. 不等式与不等式组
- 不等式性质3是重点也是易错点，两边乘除负数要变号
- 解一元一次不等式和解一元一次方程类似，注意不等号方向
- 不等式组解集规律要记住，会用数轴表示解集
6. 学习方法
- 初一数学下册是初中数学基础，一定要打好基础
- 每节课前预习，课后复习，当天知识当天掌握
- 多做练习题，熟能生巧，错题要整理到错题本上
- 几何题要学会画图、识图，代数题要认真计算，避免粗心错误
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THE END
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